Concours ENSA 2019 Mathématiques

Question 1 :

Soient \( a, b > 0 \), on considère la suite : \[\begin{cases} u_{n+1} = \frac{(b^2 + ab - a^2)u_n - a^2}{b^2u_n + b^2 - ab - a^2} \\ u_0 = \frac{b}{a} \end{cases}\] En remarquant que la suite \( u_n = \frac{b}{bu_n - a} \) est une suite arithmétique, \( u_n \) est égal à :

A) \(\frac{an+b}{bn+a}\)

B) \(\frac{n+b}{bn+a}\)

C) \(\frac{an-b}{bn-a}\)

D) \(\frac{an+b}{n+a}\)

Question 2 :

Pour \( n \in \mathbb{N}^* \), on considère la suite : \[u_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2k + n}\] On a \( u_n \in I \) avec

A) \( I = \left[ 0, \frac{1}{3} \right] \)

B) \( I = \left[ \frac{1}{3}, 1 \right] \)

C) \( I = [2, 3] \)

D) \( I = [1, 2] \)

Question 3 :

On considère toujours la suite de la question 2 ci-dessus, \( \lim_{n \to +\infty} u_n \) est égale à :

A) \(\sqrt{3}\)

B) ln (3)

C) ln (\(\sqrt{3}\))

D) 0

Question 4 :

Sachant que \( (\ln (x + \sqrt{4 + x^2})' = \frac{1}{\sqrt{4+x^2}}) \), la valeur de l'intégrale \( \int_0^1 \sqrt{4 + x^2} dx \) est :

A) \( ln \left( \frac{3+\sqrt{5}}{2} \right) - \frac{\sqrt{5}}{2} \)

B) \( ln \left( \frac{3+\sqrt{5}}{2} \right) - ln \left( \frac{\sqrt{5}}{2} \right) \)

C) \( ln \left( \frac{3+\sqrt{5}}{2} \right) - \frac{5}{2} \)

D) \( ln \left( \frac{3+\sqrt{5}}{2} \right) + \frac{\sqrt{5}}{2} \)

Question 5 :

On considère l’équation trigonométrique suivante : \( (E) : \cos^4 (3x) + \sin^4 (3x) = 1 \) Les solutions de \( (E) \) sont de la forme :

A) \( x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi, k \in \mathbb{Z} \)

B) \( x = -\frac{\pi}{6} + 2k\pi, k \in \mathbb{Z} \)

C) \( x = \frac{k\pi}{3}, k \in \mathbb{Z} \)

D) \( x = \frac{k\pi}{6}, k \in \mathbb{Z} \)

Question 6 :

Soit le réel \[ \lambda = \sqrt[4]{\frac{7+3\sqrt{5}}{2}} - \sqrt[4]{\frac{7-3\sqrt{5}}{2}} \] En calculant \( \lambda^4 \), la valeur de \( \lambda \) est :

A) \( \lambda = 0 \)

B) \( \lambda = 1 \)

C) \( \lambda = 2 \)

D) \( \lambda = 3 \)

Question 7 :

Soit \( a > 0 \), la valeur de l’intégrale \[ \int_0^a \sqrt{a^2 - x^2} \, dx \] est :

A) \( \frac{\pi a}{4} \)

B) \( 4\pi a \)

C) \( \pi a^2 \)

D) \( \frac{\pi a^2}{4} \)

Question 8 :

On jette 3 fois un dé à 6 faces numérotées de 1 à 6, et on note a, b et c les résultats successifs obtenus. On note \( Q(x) = ax^2 + bx + c \). La probabilité pour que \( Q \) admet une seule racine double est :

A) \( \frac{11}{216} \)

B) \( \frac{7}{216} \)

C) \( \frac{5}{216} \)

D) \( \frac{9}{216} \)

Question 9 :

Une urne contient 4 boules jaunes, 3 boules rouges et 3 boules bleues. Les boules sont indiscernables au touché. L’expérience consiste à tirer au hasard successivement deux boules (une après l’autre) sans remise. La probabilité d’obtenir la deuxième boule tirée de couleur rouge est :

A) \( \frac{27}{90} \)

B) \( \frac{25}{90} \)

C) \( \frac{29}{90} \)

D) \( \frac{23}{90} \)

Question 10 :

On considère toujours la même expérience. La probabilité d’obtenir la boule jaune au premier tirage achant que la deuxième boule tirée est rouge:

A) \( \frac{4}{9} \)

B) \( \frac{5}{9} \)

C) \( \frac{6}{9} \)

D) \( \frac{7}{9} \)

Question 11 :

Soit \( z = -1 + \sqrt{2} + i \), arg(\( z \)) est égal à :

A) \(\frac{3\pi}{8}\)

B) \(\frac{5\pi}{8}\)

C) \(\frac{7\pi}{8}\)

D) \(\frac{\pi}{8}\)

Question 12 :

En relation avec la question précédente, la valeur de cos \(( \frac{5\pi}{8} )\) est :

A) \(\sqrt{\frac{2-\sqrt{2}}{2}}\)

B) \(-\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}\)

C) \(\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}\)

D) \(-\sqrt{\frac{2-\sqrt{2}}{2}}\)

Question 13 :

Soit \( a = \cos ( \frac{\pi}{5} ) \cos ( \frac{2\pi}{5} )\). En calculant \( a \sin ( \frac{\pi}{5} )\), la valeur de \( a \) est :

A) \(\frac{1}{2}\)

B) \(\frac{1}{3}\)

C) \(\frac{1}{4}\)

D) \(\frac{1}{5}\)

Question 14 :

A partir de l’expression de la valeur de \( a \) (question précédente) la valeur de \( b = \sin ( \frac{\pi}{5} ) \sin ( \frac{2\pi}{5} ) \) est :

A) \(\frac{5}{4}\)

B) \(\frac{\sqrt{5}}{4}\)

C) \(\frac{1}{4}\)

D) \(\sqrt{\frac{5}{4}}\)

Question 15 :

Soient \( A, B \) deux points distincts du plan. L’ensemble des points \( M \) tel que \( AM.AM - 4AM.BM' = 0 \) est :

A) Une droite

B) Un cercle

C) Une demi-droite

D) Un disque

Question 16 :

L’expression simplifiée de \[u_n = \prod_{k=0}^{n} \left[ \frac{k^2 + 5k + 6}{k^2 + 5k + 4} \right]\] est :

A) \(\frac{6n+3}{n+4}\)

B) \(\frac{n+4}{3n+6}\)

C) \(\frac{n+4}{6n+3}\)

D) \(\frac{3n+6}{n+4}\)

Question 17 :

Le concours d’entrée à la première année des ENSA pour l’année 2019-2020 se déroule le 23 Juillet 2019. Le nombre des unités de \(23^{2019}\) est :

A) 3

B) 9

C) 1

D) 7

Question 18 :

La valeur du produit suivant \[u_n = \prod_{k=1}^{n} (e^{2k} + e^{-2k})\] est :

A) \(\frac{e^{2^{n+1}}-e^{-2^{n+1}}}{e-e^{-1}}\)

B) \(\frac{e^{2^{n+1}}+e^{-2^{n+1}}}{e-e^{-1}}\)

C) \(\frac{e^{2^{n+1}}-e^{-2^{n+1}}}{e+e^{-1}}\)

D) \(\frac{e^{2^{n+1}}+e^{-2^{n+1}}}{e+e^{-1}}\)

Question 19 :

Soient \(f_n(x) = e^x + nx^2 - 3\) et \(u_n\) la solution de \(f_n(x) = 0 \quad (x \geq 0, \, n > 0)\), \(u_n\) est :

A) est croissante

B) est décroissante

C) est stationnaire

D) est périodique

Question 20 :

Suite à la question précédente, \(\lim_{n \to +\infty} u_n\) est égale à :